Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

b

x

+c（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1．
（1）用a表示出b，c；
（2）證明：當a≥

1

2

時，f（x）≥1nx在[1，+∞）上恒成立；
（3）證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞1n（n+1）+

n

2(n+1)

．（n∈N^*）

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用導數(shù)性質(zhì)得

f′(1)=a-b=1 f(1)=a+b+c

，由此能求出

b=a-1 c=1-2a

．
（2）令g（x）=f（x）-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx，則g′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

a(x+ a-1 a )(x-1)

x2

，由此能證明當a≥

1

2

時，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立．
（3）由已知條件推導出ln(k+1)-lnk＜

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，令k=1，2，…，n，得n個不等式，將其累加，能證明1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞1n（n+1）+

n

2(n+1)

．（n∈N^*）

解答： （1）解：∵f（x）=ax+

b

x

+c，
∴f′(x)=a-

b

x2

，
∵f（x）=ax+

b

x

+c（a＞0）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1，
∴

f′(1)=a-b=1 f(1)=a+b+c

，
解得

b=a-1 c=1-2a

．
（2）證明：由（1）得f（x）=ax+

a-1

x

+1-2a，
令g（x）=f（x）-lnx=ax+

a-1

x

+1-2a-lnx，x∈[1，+∞），g（1）=0，
g′(x)=a-

a-1

x2

-

1

x

=

(ax+a-1)(x-1)

x2

=

a(x+ a-1 a )(x-1)

x2

，
∵a≥

1

2

，∴

1-a

a

≤1，∴x＞1，g′（x）＞0，
g（x）是增函數(shù)，∴g（x）＞g（1）=0，
即f（x）＞lnx，∴x≥1時，f（x）≥lnx，
∴當a≥

1

2

時，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立．
（3）證明：由（2）知，當a≥

1

2

時，有f（x）≥lnx，x≥1，
令a=

1

2

，則f（x）=

1

2

(x-

1

x

)≥lnx，
當且僅當x=1時，“=”成立，即當x＞1時，總有

1

2

(x-

1

x

)＞lnx，
令x=

k+1

k

，則

k+1

k

＜

1

2

(

k+1

k

-

k

k+1

)=

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，
即ln(k+1)-lnk＜

1

2

(

1

k

+

1

k+1

)，
令k=1，2，…，n，得n個不等式，
將其累加，得：
ln（n+1）＜

1

2

+(

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)+

1

2(n+1)

，
∴1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞1n（n+1）+

n

2(n+1)

．（n∈N^*）

點評：本題考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)、累加求和等知識點的合理運用．