Question

某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1，2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)
（Ⅰ）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X₁的概率分布列如下所示：

X1	5	6	7	8
P	0.4	a	b	0.1

且X₁的數(shù)字期望EX₁=6，求a，b的值；
（Ⅱ）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X₂，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：
3   5   3   3   8   5   5   6   3   4
6   3   4   7   5   3   4   8   5   3
8   3   4   3   4   4   7   5   6   7
用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X₂的數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由．
注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=

產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望

產(chǎn)品的零售價

；
（2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，結(jié)合期望的計算與頻率分布列的性質(zhì)，可得

6a+7b=3.2 a+b=0.5

，解即可得答案；
（Ⅱ）依據(jù)題意中，用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，先由數(shù)據(jù)得到樣本的頻率分布列，進(jìn)而可得其概率分布列，由期望公式，計算可得答案；
（Ⅲ）由題意與（Ⅱ）的結(jié)論，可得兩廠產(chǎn)品的期望，結(jié)合題意，計算可得他們產(chǎn)品的“性價比”，比較其大小，可得答案．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題意，因為X₁的數(shù)字期望EX₁=6，則5×0.4+6a+7b+8×0.1=6，化簡可得6a+7b=3.2；
又由X₁的頻率分布列，可得0.4+a+b+0.1=1，即a+b=0.5；
即

6a+7b=3.2 a+b=0.5

，解可得a=0.3，b=0.2；
（Ⅱ）由已知得，樣本的頻率分布列為

X2	3	4	5	6	7	8
f	0.3	0.2	0.2	0.1	0.1	0.1

用這個樣本的頻率分布估計總體的分布，將其頻率視為概率，可得X₂的概率分布列如下：

X2	3	4	5	6	7	8
p	0.3	0.2	0.2	0.1	0.1	0.1

所以EX₂=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8．
即乙產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8；
（Ⅲ）乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性，
理由如下：甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價格為6元/件，所以其性價比為

6

6

=1，
乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為

4.8

4

=1.2；
據(jù)此乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性．

點評：本題考查概率的實際運用，是應(yīng)用性的題目，整體難度不大；解題時需要認(rèn)真分析、理解題意，并根據(jù)題意，選擇合適的數(shù)學(xué)統(tǒng)計量來計算應(yīng)用．