Question

20．在y=3^x，y=log_0.3x，y=x³，y=$\sqrt{x}$，這四個(gè)函數(shù)中當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立的函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意，根據(jù)條件0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立得出滿足條件的函數(shù)的性質(zhì)，再對照四個(gè)函數(shù)的性質(zhì)即可找出滿足條件的函數(shù)的個(gè)數(shù)．

解答 解：當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立，從圖象上看，是圖象上任意兩點(diǎn)的連線的中點(diǎn)的函數(shù)值在兩點(diǎn)的中點(diǎn)的函數(shù)值的曲線的上方．滿足這樣的函數(shù)稱作凹函數(shù)．
考查四個(gè)函數(shù)y=3^x，y=log_0.3x，y=x³，y=$\sqrt{x}$的圖象可得，y=$\sqrt{x}$在（0，1）符合任意兩點(diǎn)間的曲線在兩點(diǎn)間線段的上方，是凸函數(shù)；而y=2^x，y=x³，y=log_0.3x這3個(gè)函數(shù)都是凹函數(shù)，符合題意．
綜上分析知，滿足條件的函數(shù)有3個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是理解四個(gè)函數(shù)的性質(zhì)及對題設(shè)中條件“當(dāng)0＜x₁＜x₂＜1時(shí)，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立”的轉(zhuǎn)化，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，本題需要研究函數(shù)變化率的變化規(guī)律，有一定的難度．