Question

已知曲線f（x）=x³+x²+x+3在x=-1處的切線恰好與拋物線y=2px²相切，則過該拋物線焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交得的線段長為（　�。�

• A．

  1

  8

• B．

  1

  4

• C．8
• D．4

Answer 1

分析：為求斜率，先求導(dǎo)函數(shù)，得到切線方程，從而可求拋物線方程，進(jìn)而求出線段長．

解答：解：∵f（x）=x³+x²+x+3，
∴f′（x）=3x²+2x+1，
∴f′（-1）=2，
由已知可得k=f′（-1）=2，
∵切點(diǎn)為（-1，2），∴切線方程為y-2=2（x+1），即y=2x+4．
設(shè)此直線與拋物線切于點(diǎn)（x₀，2px₀²），
則k=4px₀=2，得px₀=

1

2

，
∵2x₀+4=2px₀²，解得x₀=-4，p=-

1

8

，
∴拋物線的方程為x²=-4y，
其過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交得的線段長度為4，
故選D．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，要求過曲線上一點(diǎn)處的切線方程，一般先求出該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值（斜率），再用點(diǎn)斜式寫出后化簡，同時(shí)我們還可以據(jù)此寫出該點(diǎn)處的法線方程，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力．