Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．  
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=xlnx，知f′（x）=1+lnx，x＞0，由此能求出函數(shù)f（x）的減區(qū)間．
（2）由f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，知xlnx≥-x2+ax-6⇒a≤x+lnx+

6

x

，g(x)=x+lnx+

6

x

，由此能夠求出實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，x＞0，
∵f′(x)=1+lnx＜0⇒0＜x＜

1

e

，
∴函數(shù)f（x）的減區(qū)間為(0，

1

e

)．
（2）∵f（x）≥-x²+ax-6在（0，+∞）上恒成立，
∴xlnx≥-x2+ax-6⇒a≤x+lnx+

6

x

，g(x)=x+lnx+

6

x

，
g′(x)=

x2+x-6

x2

，
當(dāng)x＞2時，g（x）是增函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜2時，g（x）是減函數(shù)，
∴a≤g（2）=5+ln2．
即實數(shù)a的取值范圍是（-∞，5+ln2）．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和實數(shù)的取值范圍的方法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．