Question

過點P（-4，4）作直線l與圓O：x²+y²=4相交于A、B兩點．
（Ⅰ）若直線l變動時，求AB中點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l的斜率為-

1

2

，求弦AB的長；
（Ⅲ）若一直線與圓O相 切于點Q且與x軸的正半軸，y軸的正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，求點Q的坐標．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）點M所在曲線是以O(shè)P為直徑的圓，可得AB中點M的軌跡方程；
（Ⅱ）求出直線l的方程是：y-4=-

1

2

（x+4），可得點O到直線l的距離，即可求弦AB的長；
（Ⅲ）求出兩個坐標軸的正半軸于切線圍成的三角形面積，利用基本不等式可得該三角形面積最小時，點Q的坐標．

解答： 解：（Ⅰ）因為點M是AB的中點，所以O(shè)M⊥AB，
則點M所在曲線是以O(shè)P為直徑的圓，其方程為x（x+4）+y（y-4）=0，
即（x+2）²+（y-2）²=8；                                  …（4分）
（Ⅱ）因為直線l的斜率為-

1

2

，所以直線l的方程是：y-4=-

1

2

（x+4），
即x+2y-4=0，…（6分）
設(shè)點O到直線l的距離為d，則d=

4

5

，
所以AB=2

4- 16 5

=

4 5

5

；       …（10分）
（Ⅲ）設(shè)切點Q的坐標為（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0）．則切線斜率為-

x0

y0

．
所以切線方程為y-y₀=-

x0

y0

（x-x₀）．
又x₀²+y₀²=4，則x₀x+y₀y=4         …（12分）
此時，兩個坐標軸的正半軸于切線圍成的三角形面積S=

1

2

•

4

x0

•

4

y0

=

8

x0y0

．…（14分）
由x₀²+y₀²=4≥2x₀y₀，知當且僅當x₀=y₀=

2

時，x₀y₀有最大值．
即S有最小值．因此點Q的坐標為（

2

，

2

）．             …（16分）

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考察基本不等式的運用，屬于中檔題．