Question

5．如圖，在棱長均相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BB₁的中點(diǎn)，F(xiàn)在AC₁上，且DF⊥AC₁，則下列結(jié)論：
（1）AC₁⊥BC；
（2）AF=FC₁；
（3）平面DAC₁⊥平面ACC₁A₁；
（4）直線DF∥平面ABC，
其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 不妨設(shè)棱長為：2，對(duì)于（1）連接AB₁，則AB₁=AC₁=2$\sqrt{2}$，可得∠AC₁B₁≠90°，又BC∥B₁C₁，即可判斷出正誤；
對(duì)于（2），連接AD，DC₁，在△ADC₁中，AD=DC₁=$\sqrt{5}$，而DF⊥AC₁，利用等腰三角形的性質(zhì)即可判斷出正誤；
對(duì)于（3）由（2）可知，在△ADC₁中，DF=$\sqrt{3}$，連接CF，易知CF=$\sqrt{2}$，可得CD=$\sqrt{5}$，DF²+CF²=CD²，利用勾股定理的逆定理可得DF⊥CF，又DF⊥AC₁，利用線面面面垂直的判斷與性質(zhì)定理即可判斷出結(jié)論；
對(duì)于（4）：取AC的中點(diǎn)E，連接EF，BE．則EF$\underset{∥}{=}$BD，利用平行四邊形的判定與性質(zhì)定理可得DF∥BE，再利用線面平行的判定定理即可判斷出結(jié)論．

解答 解：不妨設(shè)棱長為：2，對(duì)于（1）連接AB₁，則AB₁=AC₁=2$\sqrt{2}$，∴∠AC₁B₁≠90°，即AC₁與B₁C₁不垂直，又BC∥B₁C₁，∴不正確；
對(duì)于（2），連接AD，DC₁，在△ADC₁中，AD=DC₁=$\sqrt{5}$，而DF⊥AC₁，∴F是AC₁的中點(diǎn)，AF=FC₁，∴正確；
對(duì)于（3）由（2）可知，在△ADC₁中，DF=$\sqrt{3}$，連接CF，易知CF=$\sqrt{2}$，而在Rt△CBD中，CD=$\sqrt{5}$，∴DF²+CF²=CD²，
即DF⊥CF，又DF⊥AC₁，∴DF⊥面ACC₁A₁，∴平面DAC₁⊥平面ACC₁A₁，∴正確；
對(duì)于（4）：取AC的中點(diǎn)E，連接EF，BE．則EF$\underset{∥}{=}$BD，可得四邊形BDFE為平行四邊形，∴DF∥BE，又DF?平面ABC，BE?平面ABC，∴直線DF∥平面ABC．
綜上可得：正確的命題的個(gè)數(shù)為3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、線面平行與垂直的判斷及性質(zhì)定理、勾股定理與逆定理、等腰三角形的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．