Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，關(guān)于數(shù)列{a_n}，下列命題正確的序號(hào)是①②．
①若數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則a_n=a_n+1；
②若${S_n}=a{n^2}+bn（{a，b∈R}）$，則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
③若${S_n}=1+{（{-1}）^n}$，則數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．

Answer 1

分析 ①任取數(shù)列{a_n}中相鄰的三項(xiàng)，利用等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)化簡(jiǎn)即得結(jié)論；②通過${S_n}=a{n^2}+bn（{a，b∈R}）$與S_n-1=a（n-1）²+b（n-1）作差、整理即得結(jié)論；③通過令n=1可知首項(xiàng)a₁=0，從而可得結(jié)論．

解答 解：①∵數(shù)列{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，
∴2a_n+1=a_n+a_n+2，且${{a}_{n+1}}^{2}$=a_n•a_n+2，
即a_n•a_n+2=$（\frac{{a}_{n}+{a}_{n+2}}{2}）^{2}$，即$（{a}_{n}-{a}_{n+2}）^{2}$=0，
∴a_n=a_n+2，a_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+a_n+2）=a_n，
∴a_n=a_n+1，即①正確；
②∵${S_n}=a{n^2}+bn（{a，b∈R}）$，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=a（n-1）²+b（n-1），
兩式相減得：a_n=2an+b-a，
又∵a₁=S₁=a+b滿足上式，
∴a_n=2an+b-a，即數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，故②正確；
③若${S_n}=1+{（{-1}）^n}$，則a₁=0，
而等比數(shù)列中不存在為0的項(xiàng)，故數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
于是③不正確；
綜上所述，只有①②命題正確，
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)及判定，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．