Question

14．關(guān)于函數(shù)f（x）=（x²-2x）e^x，有以下命題：
①不等式f（x）＜0的解集是{x|0＜x＜2}；  
②$f（-\sqrt{2}）$是極大值，$f（\sqrt{2}）$是極小值；
③f（x）有最小值，沒有最大值；  
④f（x）有3個(gè)零點(diǎn)．
其中正確的命題個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 令f（x）＜0可解x的范圍確定①正確；對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令f'（x）=0求出x，根據(jù)f'（x）的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值進(jìn)而可確定②正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷函數(shù)的取值范圍判斷③正確，解方程判斷④不正確，從而得到答案．

解答 解：由f（x）＜0⇒（x²-2x）e^x＜0⇒x²-2x＜0⇒0＜x＜2，
故①正確；
f′（x）=e^x（x²-2），由f′（x）=0得x=±$\sqrt{2}$，
由f′（x）＞0得x＞$\sqrt{2}$或x＜-$\sqrt{2}$，由f′（x）＜0得-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，+∞）．單調(diào)減區(qū)間為（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
∴f（x）的極小值為f（$\sqrt{2}$），極大值為f（-$\sqrt{2}$），故②正確；
而f（$\sqrt{2}$）=（2-2$\sqrt{2}$）${e}^{\sqrt{2}}$＜0，f（-$\sqrt{2}$）=（2+2$\sqrt{2}$）${e}^{-\sqrt{2}}$＞0，
x＞2時(shí)，f（x）＞0恒成立，x＜0時(shí)，f（x）＞0恒成立，x→-∞時(shí)，f（x）→0，
∴f（x）沒有最大值，有最小值，最小值是f（$\sqrt{2}$），∴③正確，
令f（x）=0，解得：x=0或x=2，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)，④不正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的極值與其導(dǎo)函數(shù)關(guān)系，即函數(shù)取到極值時(shí)導(dǎo)函數(shù)一定等于0，但導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)還要判斷原函數(shù)的單調(diào)性才能確定原函數(shù)的極值點(diǎn)．