Question

13．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1）．
（1）將函數(shù)f（x）的圖象上的所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)1個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，寫出函數(shù)g（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的函數(shù)y=g²（x）-mg（x²）+3在[1，4]上的最小值為2，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象平移關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）利用換元法，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)單調(diào)性和最值之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）將函數(shù)f（x）的圖象上的所有點(diǎn)向右平行移動(dòng)1個(gè)單位，
得到y(tǒng)=log₂（x-1+1）=log₂x．
即g（x）=log₂x（x＞0）；…（2分）
（2）$y={g^2}（x）-mg（{x^2}）+3={（{{{log}_2}x}）^2}-2m{log_2}x+3$，
令t=log₂x（t∈[0，2]）得y=t²-2mt+3=（t-m）²+3-m²…（4分）
①若m＜0，則y=t²-2mt+3在t∈[0，2]上遞增，
∴當(dāng)t=0時(shí)，y_min=3≠2，無(wú)解；…（6分）
②若0≤m≤2，則當(dāng)t=m時(shí)，${y_{min}}=3-{m^2}=2$，解得m=1，-1（舍去），
∴m=1…（8分）
③若m＞2，則y=t²-2mt+3在t∈[0，2]上遞減，
∴當(dāng)t=2時(shí)，y_min=7-4m=2，解得$m=\frac{5}{4}＜2$，不符合條件，舍去；
綜上可得m=1…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)圖象的變化，以及函數(shù)最值的求解，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．