Question

（本題滿分16分）
已知數列{a_n}滿足S_n＋a_n＝2n＋1, 
(1) 寫出a₁, a₂, a₃,并推測a_n的表達式；
(2) 用數學歸納法證明所得的結論。

Answer 1

(1) a₁＝, a₂＝, a₃＝, 猜測 a_n＝2－  (2)見解析

解： (1) a₁＝, a₂＝, a₃＝, 猜測 a_n＝2－ ……5分
(2) ①由（1）已得當n＝1時，命題成立；……8分
②假設n＝k時,命題成立，即 a_k＝2－, ……10分
當n＝k＋1時, a₁＋a₂＋……＋a_k＋a_k＋1＋a_k＋1＝2(k＋1)＋1,且a₁＋a₂＋……＋a_k＝2k＋1－a_k
∴2k＋1－a_k＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2a_k＋1＝2＋2－,  a_k＋1＝2－, 即當n＝k＋1時,命題成立. ……15分
根據①②得n∈N⁺  , a_n＝2－都成立 ……16分
思路分析：第一問利用S_n＋a_n＝2n＋1，遞推得到a₁＝, a₂＝, a₃＝, 猜測 a_n＝2－
第二問中，1）已得當n＝1時，命題成立；
②假設n＝k時,命題成立，即 a_k＝2－,當n＝k＋1時, a₁＋a₂＋……＋a_k＋a_k＋1＋a_k＋1＝2(k＋1)＋1,且a₁＋a₂＋……＋a_k＝2k＋1－a_k
∴2k＋1－a_k＋2a_k＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2a_k＋1＝2＋2－,  a_k＋1＝2－
綜上可知成立。