Question

19．已知等差數(shù)列的{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且S₃-2a₂=3，S₄=16；數(shù)列{b_n}滿足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=（n-1）2ⁿ+1．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=a_n+（-1）ⁿlog₂b_n，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n（n∈N^*），當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，求T_n的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列的{a_n}的公差為d，由S₃-2a₂=3，S₄=16，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．由數(shù)列{b_n}滿足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=（n-1）2ⁿ+1，利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）c_n=a_n+（-1）ⁿlog₂b_n=（2n-1）+（-1）ⁿ（n-1），利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式分組求和即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的{a_n}的公差為d，∵S₃-2a₂=3，S₄=16，
∴$3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}$d-2（a₁+d）=3，$4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d$=16，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=（n-1）2ⁿ+1，
∴b₁=1；n≥2時(shí)，b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1=（n-2）2^n-1+1，
∴nb_n=n•2^n-1，可得b_n=2^n-1（n=1時(shí)也成立）．
∴b_n=2^n-1．
（2）c_n=a_n+（-1）ⁿlog₂b_n=（2n-1）+（-1）ⁿ（n-1），
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n（n∈N^*），當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
T_n=[1+3+…+（2n-1）]+[0+1-2+…-（n-1）]
=$\frac{n×（1+2n-1）}{2}$-$\frac{n-1}{2}$=n²-$\frac{n}{2}$$+\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分組求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．