Question

如圖，設(shè)橢圓：的離心率，頂點(diǎn)的距離為,為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于兩點(diǎn).

（ⅰ）試判斷點(diǎn)到直線的距離是否為定值.若是請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是請(qǐng)說明理由；

（ⅱ）求的最小值.

 

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．

【解析】

試題分析：（1）利用離心率可得，關(guān)系．由兩個(gè)頂點(diǎn)距離可得，距離，由此結(jié)合可求得，的值，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況求解．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，情況特殊，易求解；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理與，以及點(diǎn)到直線的距離公式求解；（3）在中，利用＝與，結(jié)合基本不等式求解．

試題解析：（1）由，得，

由頂點(diǎn)的距離為，得，

又由，解得，所以橢圓C的方程為．

（2）【解析】
（ⅰ）點(diǎn)到直線的距離為定值．

設(shè),

① 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則為等腰直角三角形，不妨設(shè)直線：，

將代入，解得，

所以點(diǎn)到直線的距離為；

② 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為與橢圓：，

聯(lián)立消去得，

，．

因?yàn)?/span>，所以，，

即，

所以，整理得，

所以點(diǎn)到直線的距離＝．

綜上可知點(diǎn)到直線的距離為定值．

（ⅱ）在中，因?yàn)?/span>＝

又因?yàn)?/span>≤，所以≥，

所以≥，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值是．

考點(diǎn)：1、橢圓的性質(zhì)；2、直線與橢圓的位置關(guān)系；3、點(diǎn)到直線的距離．