Question

（本題滿分12分）

在直角坐標(biāo)系中，點到兩點，的距離之和等于，設(shè)點的軌跡為。

（1）求曲線的方程；

（2）過點作兩條互相垂直的直線分別與曲線交于和。

①以線段為直徑的圓過能否過坐標(biāo)原點，若能求出此時的值，若不能說明理由；

②求四邊形面積的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）①②

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，

由橢圓定義可知，點的軌跡是以為焦點，長半軸為的橢圓．

它的短半軸，

故曲線C的方程為．                                      ……4分

（2）①設(shè)直線,，

其坐標(biāo)滿足

消去并整理得，

故．                              ……6分

以線段為直徑的圓過能否過坐標(biāo)原點，則，即．

而，

于是，

化簡得，所以．                              ……8分

②由①，，

將上式中的換為得，

由于,

故四邊形的面積為，        ……10分

令，則，

而，故，故，

當(dāng)直線或的斜率有一個不存在時，另一個斜率為，

不難驗證此時四邊形的面積為，

故四邊形面積的取值范圍是．                              ……12分

考點：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法、直線與橢圓的位置關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、二次函數(shù)求最值和向量垂直的坐標(biāo)運算，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力和運算求解能力.

點評：線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵，弦長公式是解題時經(jīng)常用到的公式，要熟練掌握，而且探究性問題在高考中經(jīng)常考到，先假設(shè)存在，再求解即可.