Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²-5x-6和函數(shù)．
（Ⅰ） 求過點（-1，2）且與曲線f（x）相切的直線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有且只有一個公共點，求k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)，比較與的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解該曲線過點（-1，2）的切線方程，注意點（-1，2）不一定是切點，設(shè)出切點利用待定系數(shù)法求解出所求的切線方程；
（Ⅱ）將圖象交點問題進行轉(zhuǎn)化與化歸是解決本題的關(guān)鍵，注意求圖象的交點就是求使得兩函數(shù)值相等時對應(yīng)方程的根的問題，通過研究相應(yīng)方程對應(yīng)的函數(shù)的極值求得k的取值范圍；
（Ⅲ）將t進行變形與放縮是解決本題的關(guān)鍵，注意絕對值三角不等式的運用和作差法比較大小的思想．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-5x-6，
∴f'（x）=2x-5，
設(shè)點（m，f（m））在曲線f（x）上，
∴點（m，f（m））處的切線方程為點y-（m²-5m-6）=（2m-5）（x-m），
∵切線過點（-1，2），
∴2-（m²-5m-6）=（2m-5）（-1-m），即m²+2m+3=0，
∴m₁=-1，或m₂=-3
∴切線方程為7x+y+7=0，或11x+y+15=0；
（Ⅱ）∵，
∴方程只有一個解，
即方程只有一個解，
設(shè)，∴u'（x）=3x²-9x²+6，
當(dāng)x＜1或x＞2時，u'（x）＞0，當(dāng)1＜x＜2時，u'（x）＜0，
∴x=1時，u（x）有極大值，x=2時，u（x）有極小值4，
∴或k＜4且k≠2；
（Ⅲ）∵
又∵，
∴
=
=，
，
∴t＞k＞0，
∵
==，
∵t＞k＞0，
∴．
點評：本題是函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，考查函數(shù)圖象過某點處的切線方程的求解，注意點斜式方程和待定系數(shù)法的靈活運用；考查函數(shù)圖象交點問題的等價轉(zhuǎn)化思想，要求學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值．進而解決一些綜合問題；考查學(xué)生運用作差法比較大小的方法，注意放縮法的運用，要求學(xué)生具有很強的轉(zhuǎn)化與化歸能力．