Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-xlnx-（2a-1）x+a-1（a∈R）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（e，f（e））處的切線方程；
（2）對任意的x∈[1，+∞），函數(shù)f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把a(bǔ)=0代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后得到函數(shù)在點(diǎn)P（e，f（e））處的切線的斜率，然后利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）由f（x）≥0，得ax²-xlnx-（2a-1）x+a-1≥0，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)在x=1處，的導(dǎo)數(shù)為0，然后由導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在[1，+∞）上大于0求得a的范圍，就是滿足函數(shù)f（x）≥0恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=-xlnx+x-1，
f′（x）=-lnx，∴f′（e）=-lne=-1，
又f（e）=-elne+e-1=-1，
∴函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（e，f（e））處的切線方程為：y+1=-1×（x-e），即x+y+1-e=0；
（2）由f（x）≥0，得ax²-xlnx-（2a-1）x+a-1≥0，
f′（x）=2ax-2a-lnx，令g（x）=2ax-2a-lnx，
則g′(x)=2a-

1

x

=

2ax-1

x

，
∵f′（1）=0，
∴只要g′（x）≥0，就有g(shù)（0）≥0，且g（x）單調(diào)遞增，即f（x）≥f（1）=0．
∴2ax-1≥0，a≥

1

2

．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，二次求導(dǎo)是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．