Question

下列四個(gè)命題中：
①函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)；
②若f′（x）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x₀處取得極值；
③當(dāng)m≥-1時(shí)，則函數(shù)y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域?yàn)镽；
④“a=1”是“函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件；
其中真命題是

①②③

．（填上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得①正確；
②通過(guò)舉反例可得②不正確；
③根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)可取遍所有的正實(shí)數(shù)，可得此對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽，故③正確．
④根據(jù)a=1時(shí)，函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)時(shí)，a=1，可得④不正確．

解答：解：①對(duì)于函數(shù)f（x）=lnx-2+x，f′(x)=

1

x

+1，∴函數(shù)在區(qū)間（1，e）上單調(diào)遞增，f（1）=-1，f（e）=e-1＞0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得，在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)，故①正確．
②不正確，如當(dāng)f（x）=x³時(shí)，顯然滿足f′（0）=0，但y=f（x）=x³ 在x=0處沒(méi)有極值．
③m≥-1，函數(shù)y=log

1

2

(x2-2x-m)的真數(shù)為x²-2x-m，判別式△=4+4m≥0，故真數(shù)可取遍所有的正實(shí)數(shù)，所以函數(shù)y=log

1

2

(x2-2x-m)的值域?yàn)镽，故③正確．
④由a=1可得f(x)=

1-ex

1+ex

f（x）=定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱f(-x)=

1-e-x

1+e-x

=

ex-1

ex+1

=-f（x），故函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，故充分性成立．
函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)，則有f（0）=0，∴a=1，故必要性成立，故“a=1”是“函數(shù)f(x)=

a-ex

1+aex

在定義域上是奇函數(shù)”的充分必要條件，故④不正確．
故真命題是①②③
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假的判斷，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，所以中檔題．