Question

如圖,在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,E、F分別是BB₁、CD的中點.

（Ⅰ）證明AD⊥D₁F;

（Ⅱ）求AE與D₁F所成的角;

（Ⅲ）證明面AED⊥面A₁FD₁;

（Ⅳ）設(shè)AA₁=2,求三棱錐E-AA₁F的體積V_E-AA1F.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AC₁是正方體,

∴AD⊥面DC₁.

又D₁F 面DC₁,

∴AD⊥D₁F.

（Ⅱ）取AB中點G,連結(jié)A₁G,FG.

因為F是CD的中點,所以GF、AD平行且相等,又A₁D₁、AD平行且相等,所以GF、A₁D₁平行且相等,故GFD₁A₁是平行四邊形,A₁G∥D₁F.

設(shè)A₁G與AE相交于點H,∠AHA₁是AE與D₁F所成的角.

因為E是BB₁的中點,所以Rt△A₁AG≌Rt△ABE,∠GA₁A=∠GAH,

從而∠AHA₁=90°,也即直線AE與D₁F所成的角為直角.                               

（Ⅲ）由（Ⅰ）知AD⊥D₁F,由（Ⅱ）知AE⊥D₁F,又AD∩AE=A,

所以D₁F⊥面AED.

又因為D₁F 面A₁FD₁,所以面AED⊥面A₁FD₁.（Ⅳ）∵體積V_E-AA1F=V_F-AA1E,

又FG⊥面ABB₁A₁,三棱錐F-AA₁E的高FG=AA₁=2,

∴