Question

15．在△ABC中，A=60°，a=$\sqrt{3}$．
（1）求△ABC面積的最大值；
（2）求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 利用正弦定理得出b=2sinB，c=2sinC=2sin（120°-B）=$\sqrt{3}$cosB+sinB，分別代入面積公式和周長公式化簡，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)和B的范圍求出最值即可．

解答 解：（1）在△ABC中，由正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$=2，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\sqrt{3}$sinBsinC=$\sqrt{3}$sinBsin（120°-B）=$\frac{3}{2}$sinBcosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin²B
=$\frac{3}{4}sin2B$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2B+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2B-60°）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∵0°＜B＜120°，
∴-60°＜2B-60°＜180°，
∴當(dāng)2B-60°=90°時，S_△ABC取得最大值$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$．
（2）a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC=$\sqrt{3}+2$sinB+2sin（120°-B）
=3sinB+$\sqrt{3}$cosB+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$sin（B+30°）+$\sqrt{3}$
∵0°＜B＜120°，
∴30°＜B+30°＜150°，
∴當(dāng)B+30°=90°時，a+b+c取得最大值3$\sqrt{3}$．
當(dāng)B+30°=30°或150°時，a+b+c取得最小值2$\sqrt{3}$．
∴△ABC的周長的取值范圍是（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了正弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的 圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．