設(shè)m>3,對(duì)于有窮數(shù)列{an}(n=1,2,3…,m),令bk為a1,a2…ak中的最大值,稱數(shù)列{bn}為{an}的“創(chuàng)新數(shù)列”.?dāng)?shù){bn}中不相等項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為{an}的“創(chuàng)新階數(shù)”.例如數(shù)列2,1,3,7,5的創(chuàng)新數(shù)列為2,2,3,7,7,創(chuàng)新階數(shù)為3.
考察自然數(shù)1,2…m(m>3)的所有排列,將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列{cn}.
(Ⅰ)若m=5,寫(xiě)出創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的所有數(shù)列{cn};
(Ⅱ) 是否存在數(shù)列{cn},使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,求出所有的數(shù)列{cn},若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅲ)在創(chuàng)新階數(shù)為2的所有數(shù)列{cn}中,求它們的首項(xiàng)的和.
分析:(I)根據(jù)bk為a1,a2…ak中的最大值,稱數(shù)列{bn}為{an}的“創(chuàng)新數(shù)列”,可得數(shù)列3,4,1,5,2與數(shù)列3,4,2,5,1的“創(chuàng)新數(shù)列”為3,4,4,5,5;
(II)設(shè)數(shù)列{cn}的創(chuàng)新數(shù)列為{en}(n=1,2,3…,m),{en}為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,討論d=0,d=1,以及當(dāng)d=2時(shí),因?yàn)閑m=e1+(m-1)d=2m-2+e1,又m>3,e1>0,所以em>m,這與em=m矛盾,所以此時(shí){en}不存在,即不存在{cn}使得它的創(chuàng)新數(shù)列為d=2的等差數(shù)列,從而得到結(jié)論;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,em=m,由題意,得e1=c1,所以當(dāng)數(shù)列{cn}的創(chuàng)新階數(shù)為2時(shí),{en}必然為c1,c1,…c1,m,m…m(其中c1<m)由排列組合知識(shí),得創(chuàng)新數(shù)列為k,k,…,k,m,m…,m的符合條件的{cn}的個(gè)數(shù),在創(chuàng)新階數(shù)為2的所有數(shù)列{cn}中,它們的首項(xiàng)的和為
m-1
k=1
k
(m-1)!
m-k
=(m-1)!
m-1
k=1
k
m-k
解答:(Ⅰ)解:由題意,創(chuàng)新數(shù)列為3,4,4,5,5的數(shù)列{cn}有兩個(gè),即:
(1)數(shù)列3,4,1,5,2;---------------------------(2分)
(2)數(shù)列3,4,2,5,1.---------------------------(3分)
注:寫(xiě)出一個(gè)得(2分),兩個(gè)寫(xiě)全得(3分).
(Ⅱ)答:存在數(shù)列{cn},它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列.
解:設(shè)數(shù)列{cn}的創(chuàng)新數(shù)列為{en}(n=1,2,3…,m),
因?yàn)閑m為c1,c2,…cm中的最大值.
所以em=m.
由題意知:ek為c1,c2,…ck中最大值,ek+1為c1,c2,…ck+1中最大值,
若{en}為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,則d,ek+1,ek,0,-----------(5分)
當(dāng)d=0時(shí),{en}為常數(shù)列,又em=m,
所以數(shù)列{en}為m,m,m,…,m,此時(shí)數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為m的任意一個(gè)符合條件的數(shù)列;
當(dāng)d=1時(shí),因?yàn)閑m=m,
所以數(shù)列{en}為1,2,3…,m,此時(shí)數(shù)列{cn}是1,2,3…,m;-----------(7分)
當(dāng)d=2時(shí),因?yàn)閑m=e1+(m-1)d=2m-2+e1,
又m>3,e1>0,所以em>m,
這與em=m矛盾,所以此時(shí){en}不存在,即不存在{cn}使得它的創(chuàng)新數(shù)列為d=2的等差數(shù)列.
綜上,當(dāng)數(shù)列{cn}為:(1)首項(xiàng)為m的任意符合條件的數(shù)列;
(2)數(shù)列1,2,3…,m時(shí),它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列.---------------------------(9分)
注:此問(wèn)僅寫(xiě)出結(jié)論(1)(2)者得(2分).
(Ⅲ)解:設(shè){cn}的創(chuàng)新數(shù)列為{en}(n=1,2,3…,m),
由(Ⅱ)知,em=m,
由題意,得e1=c1,
所以當(dāng)數(shù)列{cn}的創(chuàng)新階數(shù)為2時(shí),{en}必然為c1,c1,…c1,m,m…m(其中c1<m),---------------------(10分)
由排列組合知識(shí),得創(chuàng)新數(shù)列為k,k,…,k,m,m…,m的符合條件的{cn}的個(gè)數(shù)為
Cm-1m-kAm-k-1m-k-1Ak-1k-1=
1
m-k
A
m-k
m-1
A
k-1
k-1
=
1
m-k
(m-1)!
,----------------(12分)
所以,在創(chuàng)新階數(shù)為2的所有數(shù)列{cn}中,它們的首項(xiàng)的和為
m-1
k=1
k
(m-1)!
m-k
=(m-1)!
m-1
k=1
k
m-k
.---------------------------(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了創(chuàng)新數(shù)列的定義,以及分類討論的思想和排列組合等知識(shí),對(duì)于學(xué)生有很大的難度,屬于難題.
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