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正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則二面角ABDC的正弦值為
2
5
5
2
5
5
．
分析：取BC的中點O，連接AO，DO，建立空間直角坐標系，確定
OA
為平面BCD的法向量，求出平面ABD的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到結論．
解答：解：取BC的中點O，連接AO，DO，建立空間直角坐標系，如圖所示
設BC=1，則A(0，0，
3
2
)，B(0，-
1
2
，0)，D(
3
2
，0，0)
∴
OA
=(0，0，
3
2
)，
BD
=(
3
2
，
1
2
，0)
由題意，
OA
為平面BCD的法向量
設平面ABD的法向量為
n
=（x，y，z），則
由
n
•
BA
=0
n
•
BD
=0
，可得
1
2
y+
3
2
z=0
3
2
x+
1
2
y=0

取x=1，則y=-
3
，z=1
∴
n
=(1，-
3
，1)
∴cos＜
n
，
OA
＞=
n
•
OA
|
n
||
OA
|
=
5
5

∴sin＜
n
，
OA
＞=
2
5
5
點評：本題考查二面角的計算，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•汕頭一模）如圖，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E為DB的中點．
（Ⅰ）證明：AE⊥BC；
（Ⅱ）若點F是線段BC上的動點，設平面PFE與平面PBE所成的平面角大小為θ，當θ在[0，
π4
]內取值時，直線PF與平面DBC所成的角為α，求tanα的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，已知△A′DE是△ADE繞邊DE旋轉形成的一個圖形，且A′∉平面ABC，現(xiàn)給出下列命題：
①恒有直線BC∥平面A′DE；
②恒有直線DE⊥平面A′FG；
③恒有平面A′FG⊥平面A′DE．
其中正確命題的序號為
①②③
①②③
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖2-1-2所示，在正△ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點，則與向量相等的向量是(    )

圖2-1-2

A.與         B.與         C.與       D.與

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年北京市西城區(qū)（南區(qū)）高二（上）期末數學試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，已知△A′DE是△ADE繞邊DE旋轉形成的一個圖形，且A′∉平面ABC，現(xiàn)給出下列命題：
①恒有直線BC∥平面A′DE；
②恒有直線DE⊥平面A′FG；
③恒有平面A′FG⊥平面A′DE．
其中正確命題的序號為    ．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年北京市西城區(qū)（南區(qū)）高二（上）期末數學試卷（理科）（解析版） 題型：填空題

如圖，正△ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，已知△A′DE是△ADE繞邊DE旋轉形成的一個圖形，且A′∉平面ABC，現(xiàn)給出下列命題：
①恒有直線BC∥平面A′DE；
②恒有直線DE⊥平面A′FG；
③恒有平面A′FG⊥平面A′DE．
其中正確命題的序號為    ．

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