Question

7．如圖所示，已知在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=CD=2BC=4，△PAD是等邊三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F(xiàn)分別是PD，PC的中點，M為CD上一點．
（1）求證：平面BEF⊥平面PAD；
（2）求三棱錐M-EFB的體積．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性質(zhì)可得CD⊥平面PAD，而CD∥EF，故EF⊥平面PAD，于是平面BEF⊥平面PAD；
（2）取AD中點N，連結(jié)PN，BN，過N作NQ⊥PD．則可證BN∥平面PCD，NQ⊥平面PCD，于是V_M-EFB=V_B-EFM=V_N-EFM=$\frac{1}{3}{S}_{△EFM}•NQ$．

解答 （1）證明：∵BC∥AD，BC⊥CD，∴CD⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD．
∵E，F(xiàn)分別是PD，PC的中點，
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面PAD，又EF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAD．
（2）解：取AD中點N，連結(jié)PN，BN，過N作NQ⊥PD．
∵△PAD是邊長為4的正三角形，
∴ND=$\frac{1}{2}AD=2$，PN=2$\sqrt{3}$，PN⊥AD
∴NQ=$\frac{PN•ND}{PD}$=$\sqrt{3}$．
∵BC$\stackrel{∥}{=}$ND，BC⊥CD，
∴四邊形BCDN是矩形，
∴NB∥CD，即NB∥平面PCD．
∴V_M-EFB=V_B-EFM=V_N-EFM．
由（1）知CD⊥平面PAD，NQ?平面PAD，
∴NQ⊥CD，又PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD=D，
∴NQ⊥平面PCD．
∵EF是△PCD的中位線，
∴S_△EFM=$\frac{1}{4}{S}_{△PCD}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}×4×4$=2．
∴V_M-EFB=V_N-EFM=$\frac{1}{3}{S}_{△EFM}•NQ$=$\frac{1}{3}×2×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了面面垂直的性質(zhì)與判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．