Question

17．某小學對五年級的學生進行體質(zhì)測試，已知五年級一班共有學生30人，測試立定跳遠的成績用莖葉圖表示如下（單位：cm）：
男生成績在175cm以上（包括175cm）定義為“合格”，成績在175cm以下（不包括175cm）定義為“不合格”；
女生成績在165cm以上（包括165cm）定義為“合格”，成績在165cm以下（不包括165cm）定義為“不合格”
（Ⅰ）在五年級一班男生中任意選取3人，求至少有2人的成績是合格的概率；
（Ⅱ）若從五年級一班成績“合格”的學生中選取2人參加復試，用X表示其中男生的人數(shù)，寫出X的分布列，并求X的數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設“僅有兩人的成績合格”為事件A，“有三人的成績合格”為事件B，至少有兩人的成績是合格的概率為P=P（A）+P（B），由此能求出至少有2人的成績是合格的概率．
（Ⅱ）因為女生共有18人，其中有10人合格，依題意，X的取值為0，1，2．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）設“僅有兩人的成績合格”為事件A，“有三人的成績合格”為事件B，
至少有兩人的成績是合格的概率為P，則P=P（A）+P（B），
又男生共12人，其中有8人合格，從而P（A）=$\frac{{C}_{4}^{1}•{C}_{8}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$，…（2分）
P（B）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$，…（4分）所以P=$\frac{42}{55}$．…（6分）
（Ⅱ）因為女生共有18人，其中有10人合格，依題意，X的取值為0，1，2．
則P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{0}{C}_{10}^{2}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{5}{17}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{8}^{1}{C}_{10}^{1}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{80}{153}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{8}^{2}{C}_{10}^{0}}{{C}_{18}^{2}}$=$\frac{28}{153}$，（每項1分）  …（10分）
因此，X的分布列如下：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{17}$	$\frac{80}{153}$	$\frac{28}{153}$

∴E（X）=$0×\frac{5}{17}+1×\frac{80}{153}$+2×$\frac{28}{153}$=$\frac{8}{9}$（人）．（未化簡不扣分）…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．