Question

已知f（x）=x²+bx+2，x∈R．
（1）若函數(shù)F（x）=f[f（x）]與f（x）在x∈R時(shí)有相同的值域，求b的取值范圍；
（2）若方程f（x）+|x²-1|=2在（0，2）上有兩個(gè)不同的根x₁、x₂，求b的取值范圍，并證明

1

x1

+

1

x2

＜4.

Answer 1

分析：（1）利用二次函數(shù)的對稱軸和值域的關(guān)系尋找解決問題的突破口，關(guān)鍵要理解f[f（x）]與f（x）在x∈R時(shí)有相同的值域等價(jià)于
f（x）的最小值要小于二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）將絕對值符號去掉進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵，利用方程根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行放縮求解轉(zhuǎn)化是證明本題的關(guān)鍵．

解答：（1）解：當(dāng)x∈R時(shí)，函數(shù)f（x）=x²+bx+2的圖象是開口向上，
且對稱軸為x=-

b

2

的拋物線，f（x）的值域?yàn)?span id="9f3gpxz" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[

8-b2

4

，+∞)，
所以F（x）=f[f（x）]的值域也為[

8-b2

4

，+∞)的充要條件
是

8-b2

4

≤-

b

2

，  即b2-2b-8≥0，  ∴b≤-2，或b≥4，
即b的取值范圍為（-∞，-2]∪[4，+∞）
（2）證明：f（x）+|x²-1|=2，即x²+bx+|x²-1|=0，由分析知b≠0
不妨設(shè)0＜x1＜x2＜2，令H(x)=x2+bx+|x2-1|=

bx+1|x|≤1 2x2+bx-1|x|＞1

因?yàn)镠（x）在（0，1]上是單調(diào)函數(shù)，所以H（x）=0在（0，1]上至多有一個(gè)解．
若x₁，x₂∈（1，2），即x₁、x₂就是2x²+bx-1=0的解，x1x2=-

1

2

＜0，與題設(shè)矛盾．
因此，x₁∈（0，1]，x₂∈（1，2）．由H(x1)=0得b=-

1

x1

，所以b≤-1；
由H(x2)=0得b=

1

x2

-2x2，所以-

7

2

＜b＜-1.
故當(dāng)-

7

2

＜b＜-1時(shí)，方程f（x）+|x²-1|=2在（0，2）上有兩個(gè)解．
由b=-

1

x1

和b=

1

x2

-2x2消去b，得

1

x1

+

1

x2

=2x2.
由x2∈(1，2)，得

1

x1

+

1

x2

＜4.

點(diǎn)評：本題考查復(fù)合函數(shù)的知識，考查二次函數(shù)的值域意識，考查方程的根與方程系數(shù)之間的關(guān)系，求取值范圍關(guān)鍵要確定出字母滿足的不等式．