Question

已知函數(shù)f（x）=x²+3|x-a|（a∈R）．若f（x）在[-1，1]上的最小值記為g（a）．
（Ⅰ）求g（a）；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，恒有f（x）≤g（a）+6．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）討論x取值，去掉絕對(duì)值得到f（x）=

x2+3x-3a x≥a x2-3x+3a x＜a

，然后討論a和區(qū)間[-1，1]的關(guān)系，從而找到f（x）在區(qū)間[-1，1]上的解析式，而根據(jù)解析式由二次函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值．
（Ⅱ）根據(jù)上一問求函數(shù)f（x）在[-1，1]上最小值的方法求出它在[-1，1]上的最大值，并證明或得出該最大值小于等于g（a）+6即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

x2+3x-3a x≥a x2-3x+3a x＜a

；
∴①若a＜-1，則x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²+3x-3a，該函數(shù)對(duì)稱軸為x=-

3

2

；
∴該函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞增；
∴g（a）=f（-1）=-2-3a；
②若-1≤a≤1，則x∈[-1，a）時(shí)，f（x）=x²-3x+3a，該函數(shù)對(duì)稱軸為x=

3

2

；
∴該函數(shù)在[-1，a）單調(diào)遞減；
∴f（x）＞f（a）=a²；
x∈[a，1]時(shí)，f（x）=x²+3x-3a；
∴該函數(shù)在[a，1]上單調(diào)遞增；
∴f（x）≥f（a）=a²；
∴g（a）=a²；
③若a＞1，則x∈[-1，1]時(shí)，f（x）=x²-3x+3a；
∴該函數(shù)在[-1，1]上單調(diào)遞減；
∴g（a）=f（1）=-2+3a；
綜上得，g（a）=

-2-3a a＜-1 a2 -1≤a≤1 -2+3a a＞1

；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得，①a＜-1時(shí)，f（x）≤f（1）=4-3a=g（a）+6；
②-1≤a≤1時(shí)，f（x）≤4+3a，或f（x）≤4-3a；
g（a）+6-4-3a=a²-3a+2；
∵a≤1；
∴a²-3a+2≥0；
∴g（a）+6≥4+3a；
∴f（x）≤g（a）+6；
同理，f（x）≤4-3a時(shí)，也可得到f（x）≤g（a）+6；
③a＞1時(shí)，f（x）≤4+3a=g（a）+6；
綜上得，當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，恒有f（x）≤g（a）+6．

點(diǎn)評(píng)：考查處理含絕對(duì)值函數(shù)的方法：討論x取值，去掉絕對(duì)值，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求二次函數(shù)的最值，以及解決分段函數(shù)問題的方法．