Question

【題目】已知橢圓： （）的離心率為，直線(xiàn)： 與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)作直線(xiàn)，與圓相交于兩點(diǎn)， ，若是鈍角三角形，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2），且

【解析】試題分析:(1)先由離心率為，求出的關(guān)系,再利用直線(xiàn) 與以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切,求出即可求出橢圓的方程;(2)先設(shè)出的坐標(biāo),利用是鈍角三角形，可得，即,聯(lián)立方程寫(xiě)出韋達(dá)定理代入,從而求得斜率的取值范圍．

試題解析:（1）由，得，

由直線(xiàn) 與圓相切，得所以， ，

所以橢圓的方程是．

（2）由（1），得圓的方程是， ，直線(xiàn)的方程是

設(shè)， ，由得

則， ．

由，得．①

因?yàn)?/span>是鈍角三角形，所以，即

所以．②

由， 與軸不共線(xiàn)，知．③

由①、②、③，得直線(xiàn)的斜率的取值范圍是，且．