Question

已知函數(shù)f（x）=，在x=1處取得極值2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）m滿足什么條件時(shí)，區(qū)間（m，2m+1）為函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若P（x，y）為f（x）=圖象上任意一點(diǎn)，直線/與．f（x）的圖象切于P點(diǎn)，不妨設(shè)直線l的斜率為對(duì)于任意的x∈R和對(duì)于任意的t∈[4，5]，均有k≥c（t²-2t-3）恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù) 在x=1處取得極值2可得f（x）=2，f′（1）=0求出a和b確定出f（x）即可；
（2）令f′（x）＞0求出增區(qū)間得到m的不等式組求出解集即可；
（3）找出直線l的斜率k=f′（x），利用換元法求出k的最小值和最大值即可得到c的范圍．
解答：解：（1）因 ，
而函數(shù) 在x=1處取得極值2，
所以 ⇒⇒
所以 ；
（2）由（1）知 ，如圖，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-1，1]
所以，⇒-1＜m≤0
所以當(dāng)m∈（-1，0]時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上單調(diào)遞增．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	o	+	0	-
f（x）	↓	極小值 -2	↑	極大值2	↓

（3）由條件知，過f（x）的圖形上一點(diǎn)P的切線l的斜率k為：=
令 ，則t∈（0，1]，此時(shí)，
根據(jù)二次函數(shù) 的圖象性質(zhì)知：
當(dāng) 時(shí)，k_min=，當(dāng)t=1時(shí)，k_max=4
所以，直線l的斜率k的取值范圍是 ．
∵t∈[4，5]，均有（t²-2t-3）∈[5，12]
∴k≥-≥（cg（t））_max，恒成立．∴c＜0，-≥5c，
∴c．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及計(jì)算能力，解答的關(guān)鍵是導(dǎo)數(shù)工具的靈活運(yùn)用．