設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈R且x≠0）對定義域內(nèi)任意的x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
（1）求證：f（1）=f（-1）=0；
（2）求證：y=f（x）是偶函數(shù)；
（3）若f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，解不等式數(shù)學(xué)公式．

解：（1）令x1=x2=1，則f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x1=x2=-1，則f（1）=f（-1）+f（-1）∴f（-1）=0
（2）x∈{x|x∈R且x≠0}關(guān)于原點對稱，
令x1=x，x2=-1
∴f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（x）=f（-x）
所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函數(shù)．
（3）不等式．
即
∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函數(shù)
且f（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴，
解得：．
分析：（1）對定義域內(nèi)任意的x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）分別對x1=x2=1賦值，即可證f（1）=f（-1）=0；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義，只需要找到f（-x）與f（x）的關(guān)系即可解答問題，操作時可以令y=-x進行分析；
（3）首先應(yīng)充分利用好前兩問題的結(jié)論對（3）問進行轉(zhuǎn)化，再結(jié)合所給不等式找到抽象不等式：
，結(jié)合單調(diào)性分析即可獲得問題的解答．
點評：本題考查的是抽象函數(shù)問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了，特值的思想、問題轉(zhuǎn)化的思想以及函數(shù)奇偶性的判斷和應(yīng)用．值得同學(xué)們體會和反思．對于解決抽象函數(shù)的一般采用賦值法，求某些點的函數(shù)值和證明不等式等，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

13、設(shè)函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)y=f-1（x），且函數(shù)y=x-f（x）的圖象過點（1，2），則函數(shù)y=f-1（x）-x的圖象一定過點
（-1，2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R+上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：①對任意正數(shù)x，y 都有f（xy）=f（x）+f（y）；②當(dāng)x＞1時，f（x）＜0；③f（3）=-1．
（1）求f（1），f（
19
）的值；
（2）證明：f（x）在R+上是減函數(shù)；
（3）如果不等式分f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)是y=f′（x），稱εyx=f′(x)•
x
y
為函數(shù)f（x）的彈性函數(shù)．
函數(shù)f（x）=2e3x彈性函數(shù)為
3x
3x
；若函數(shù)f1（x）與f2（x）的彈性函數(shù)分別為εf 1x與εf 2x，則y=f1（x）+f2（x）（f1（x）+f2（x）≠0）的彈性函數(shù)為
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
．
（用εf 1x，εf 2x，f1（x）與f2（x）表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK（x）=
f(x)，f(x)≤k
k，f(x)＞k
，取函數(shù)f（x）=2-x-e-x，若對任意的x∈（-∞，+∞），恒有fK（x）=f（x），則K的最小值為
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義．對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fk（x）=
f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
，取函數(shù)f（x）=2+x+e-x．若對任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），則（　�。�

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