圖6
(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程.
(2)設(shè)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)?并說(shuō)明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)).
本題主要考查橢圓、拋物線的概念,橢圓、拋物線的方程等基礎(chǔ)知識(shí),數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想與方法,以及運(yùn)算求解能力.
解:(1)由x2=8(y-b)得y=+b.
當(dāng)y=b+2時(shí),x=±4,
則G點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,b+2).
于是拋物線x2=8(y-b)在點(diǎn)G的切線的l的斜率k==1,
切線l的方程為y=x+b-2.
由橢圓方程得F1點(diǎn)的坐標(biāo)為(b,0),
又切線l經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F1
∴由0=b+b-2,解得b=1.
因此滿足條件的橢圓方程和拋物線方程分別為+y2=1和x2=8(y-1).
(2)拋物線上存在點(diǎn)P,使得△ABP為直角三角形,這樣的點(diǎn)共有4個(gè).
①分別過(guò)A,B作x軸的垂線,與拋物線分別交于兩點(diǎn)P1(-,)和P2(,),則△ABP1和△ABP2都是直角三角形.
②以原點(diǎn)為中心,|AB|=為半徑作圓周,由于圓周半徑大于橢圓的半短軸長(zhǎng)1,且橢圓與拋物線僅交于一點(diǎn),所以上述圓周必與拋物線相交于兩點(diǎn)P3和P4.
則△ABP3和△ABP4都是直角三角形.
因?yàn)镻1A與圓相切于點(diǎn)A,而P3在圓周上,
所以P3與P1不重合,同理P4與P2不重合.
故P1、P2、P3和P4是兩兩互不相同的點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程.
(2)設(shè)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)?并說(shuō)明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)).
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