Question

已知集合A={x|x²-2x-3＞0}，B={x|x²-4x+a=0，a∈R}．
（1）存在x∈B，使得A∩B≠∅，求a的取值范圍；
（2）若A∩B=B，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：求出集合A中不等式的解集確定出A，求出集合B中方程有解時a的范圍，表示出方程的解；
（1）根據(jù)存在x∈B，使得A∩B≠∅，確定出方程的解包含在集合A中方程的解集中，即可確定出a的范圍；
（2）根據(jù)A∩B=B，得到B為A的子集，列出關于a的不等式，即可確定出a的范圍．

解答：解：（1）集合A中的不等式變形得：（x-3）（x+1）＞0，
解得：x＞3或x＜-1，即A=（-∞，-1）∪（3，+∞）；
由集合B中的方程x²-4x+a=0有解，得到△=16-4a≥0，即a≤4，此時解為x=2±

4-a

，
若存在x∈B，使得A∩B≠∅，則有2+

4-a

＞3或2-

4-a

＜-1，
解得：a＜3，
則a的取值范圍是（-∞，3）；
（2）∵A∩B=B，∴B⊆A，
若B為空集，滿足題意，此時a＞4；
若B不為空集，可得：2-

4-a

＜-1，解得：a＜-5，
綜上，a的取值范圍是（-∞，-5）∪（4，+∞）．

點評：此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．