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已知圓M的方程為（x-2）2+y2=1，直線l的方程為y=2x，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；
（2）求的最小值；
（3）求證：經過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．
【答案】分析：（1）由題可知MP=2，M（2，0），由此可求點P的坐標；
（2）利用向量的數量積公式，計算，結合切線長公式，利用配方法，即可求得最小值；
（3）求得經過A，P，M三點的圓的方程，利用圓系方程，即可得到必過定點．
解答：（1）解：設P（m，2m），由題可知MP=2，M（2，0），所以（2m）2+（m-2）2=4，解之得．
故所求點P的坐標為P（0，0）或（，）．  …（4分）
（2）解：設P（m，2m），則．
又，，
∴．…（7分）
又，
∴，
故的最小值．                                  …（10分）
（3）證明：設P（m，2m），MP的中點，
因為PA是圓M的切線，所以經過A，P，M三點的圓是以Q為圓心，以MQ為半徑的圓，
故其方程為，
化簡得x2+y2-2x+m（-x-2y+2）=0，…（13分）
故解得或
所以經過A，P，M三點的圓必過定點（2，0）和．         …（16分）
點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查向量的數量積公式，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓M的方程為：x2+y2-2x-2y-6=0，以坐標原點為圓心的圓N與圓M相內切．
（1）求圓N的方程；
（2）圓N與x軸交于E、F兩點，圓內的動點D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比數列，求
DE
•
DF
的取值范圍；
（3）過點M作兩條直線分別與圓N相交于A、B兩點，且直線MA和直線MB的傾斜角互補，試判斷直線MN和AB是否平行？請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓M的方程為（x-2）2+y2=1，直線l的方程為y=2x，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；
（2）求
PA
•
PB
的最小值；
（3）求證：經過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．

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科目：高中數學 來源：2008屆第一次六校聯考高三數學文科試卷(廣州深圳中山珠�；葜�) 題型：044

解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟

已知圓M的方程為：(x＋3)2＋y2＝100及定點N(3，0)，動點P在圓M上運動，線段PN的垂直平分線交圓M的半徑MP于Q點，設點Q的軌跡為曲線C．

(1)求曲線C的方程；

(2)試問：過點T()是否存在直線l，使直線l與曲線C交于A，B兩點，且，(O為坐標原點)若存在求出直線l的方程，不存在說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓M的方程為（x-2）2+y2=1，直線l的方程為y=2x，點P在直線l上，過P點作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．
（1）若∠APB=60°，試求點P的坐標；
（2）求
PA
•
PB
的最小值；
（3）求證：經過A，P，M三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標．

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