Question

在△ABC中，兩個(gè)定點(diǎn)A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三條高線的交點(diǎn)）是AB邊上高線CD的中點(diǎn)．
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）斜率為2的直線l交動(dòng)點(diǎn)C的軌跡于P、Q兩點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用AH⊥BC，k_AH•k_BC=-1即可求解動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）通過(guò)斜率為2的直線l，設(shè)出直線方程，利用直線交動(dòng)點(diǎn)C的軌跡于P、Q兩點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓的方程組成方程組，求出弦長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線的距離，表示△OPQ面積，利用基本不等式求出面積的最大值．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)C（x，y）則D（x，0）．因?yàn)镠是CD的中點(diǎn)，故H(x，

y

2

)
因?yàn)锳H⊥BC所以k_AH•k_BC=-1故

y 2

x+3

•

y

x-3

=-1
整理得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程

x2

9

+

y2

18

=1(y≠0)
（2）設(shè)l：y=2x+m并代入

x2

9

+

y2

18

=1(y≠0)得6x²+4mx+m²-18=0，
∵△=（4m）²-4×6×（m²-18）＞0
∴54-m²＞0  
 即m∈(-3

6

，3

6

)，
 |PQ|=

(1+22)[(- 4m 6 )2-4• m2-18 6 ]

=

10

3

54-m2

又原點(diǎn)O到直線l的距離為d=

|m|

5

∴S_△OPQ=

1

2

×

10

3

×

54-m2

×

|m|

5

=

2

6

(54-m2)m2

≤

2

6

×

54-m2+m2

2

=

9 2

2

          
當(dāng)且僅當(dāng)54-m²=m²即m=±3

3

時(shí)等號(hào)成立，
故△OPQ面積的最大值為

9 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的關(guān)系，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離，三角形的面積公式與基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意軌跡方程中不滿足題意的點(diǎn)需要去掉．