Question

20．將函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得 φ 的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

解答 解：將函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后，得到y(tǒng)=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）的圖象，
再根據(jù)所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得$\frac{π}{3}$+φ=kπ，即 φ=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，故當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$時，f（x）取得最小值為-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．