Question

已知函數(shù)y=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；
（2）該函數(shù)的圖象可由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

，借助正弦函數(shù)的最大值，求出函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合；
（2）由y=sinx（x∈R）的圖象，按照先φ，向左平移

π

6

，把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的

1

2

倍（縱坐標不變），圖象上各點縱坐標縮短到原來的

1

2

倍（縱坐標不變），最后把得到的圖象向上平移

5

4

個單位長度，得到函數(shù)y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

的圖象；

解答：解：（1）y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1
=

1

4

（2cos²x-1）+

1

4

+

3

4

（2sinxcosx）+1
=

1

4

cos2x+

3

4

sin2x+

5

4

=

1

2

（cos2x•sin

π

6

+sin2x•cos

π

6

）+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

（6分）
y取得最大值必須且只需
2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
即x=

π

6

+kπ，k∈Z．
所以當函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為
{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}（8分）
（2）將函數(shù)y=sinx依次進行如下變換：
①把函數(shù)y=sinx的圖象向左平移

π

6

，得到函數(shù)y=sin（x+

π

6

）的圖象；
②把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的

1

2

倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）的圖象；
③把得到的圖象上各點縱坐標縮短到原來的

1

2

倍（橫坐標不變），得到函數(shù)y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的圖象；
④把得到的圖象向上平移

5

4

個單位長度，得到函數(shù)y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

的圖象；綜上得到函數(shù)y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1的圖象．（12分）

點評：本小題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力．注意函數(shù)圖象的變換的順序：→φ→ω→A→b的過程．