Question

（Ⅰ）已知矩陣，△ABC的頂點為A（0，0），B（2，0），C（1，2），求△ABC在矩陣M^-1的變換作用下所得△A′B′C′的面積．
（Ⅱ）極坐標的極點是直角坐標系原點，極軸為X軸正半軸，直線l的參數(shù)方程為．
（t為參數(shù)）．⊙O的極坐標方程為ρ=2，若直線l與⊙O相切，求實數(shù)x的值．
（Ⅲ）已知a，b，c∈R⁺，且，求a+2b+3c的最小值及取得最小值時a，b，c的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由M•M^-1=E，可得M^-1，求出變換作用下的A′，B′，C′的坐標，利用余弦公式求出三角形一個角，得∠A是直角，由面積公式求出面積．
（2）利用已知條件，求出在直角坐標系中直線1與⊙0的方程，發(fā)現(xiàn)其分別為直線和圓，根據(jù)相切原理，知圓心O（0，0）到直線L的距離為2，又根據(jù)求距離公式，即可求出x．
（3）根據(jù)柯西不等式，即可解答．
解答：解：（1）由M•M^-1=E，可得，（3分）
，，，
∴變換作用下得A’（0，0），B‘（2，-2），C’（3，3），（5分）

故.，（7分）
（2）解：直線L的普通方程為，（2分）
⊙0的直角坐標方程為x²+y²=4．（4分）
∵直線L與⊙0相切
∴圓心O（0，0）到直線L：的距離為2．
即，解得．（7分）
（3）解：由柯西不等式得
．（5分）
又，∴a+2b+3c≥18．當且僅當，
即a=b=c=3時等式成立．
∴當a=b=c=3時，a+2b+3c取得最小值18．（7分）
點評：本題主要考查矩陣、逆矩陣、矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．