Question

15．如圖，直線PA切⊙O于點A，直線PB交⊙O于點B，C，∠APC的角平分線分別與AB，AC相交于點D，E．
（1）證明：AD=AE；
（2）證明：AD²=DB•EC．

Answer 1

分析 （1）利用∠ADE=∠PAB+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，證明∠ADE=∠AED，即可證明AD=AE；
（2）證明：△PCE∽△PAD，△PAE∽△PBD，即可得出AD²=DB•EC．

解答 證明：（1）PA與圓O相切于點A，AB是弦，
∴∠PAB=∠C，
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠PAB+∠APD=∠C+∠CPE，
∵∠ADE=∠PAB+∠APD，
∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
（2）∵∠PCE=∠PAD，∠CPE=∠APD，
∴△PCE∽△PAD，
∴$\frac{EC}{AD}=\frac{PE}{PD}$，
∵∠PEA=∠PDB，∠APE=∠BPD，
∴△PAE∽△PBD，
∴$\frac{AE}{DB}$=$\frac{PE}{PD}$，
∴$\frac{EC}{AD}$=$\frac{AE}{DB}$，
由（1）知，AD=AE，
∴AD²=DB•EC．

點評 本題考查與圓有關的比例線段的求法，考查弦切角定理的運用，正確運用三角形相似的判定與性質是關鍵．