已知a＞0且a≠1，f（x）是奇函數(shù)，φ（x）=（a-1）f（x）（數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式）
（1）判斷?（x）的奇偶性，并給出證明；
（2）證明：若xf（x）＞0，則?（x）＞0．

解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)∴f（-x）=-f（x）
又?（x）的定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}2分）
∴=
=
∴?（x）是偶函數(shù)．（6分）
（2）若x＞0，則由已知，f（x）＞0，（7分）
①當(dāng)，a-1＞0∴?（x）＞0
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a-1＜0，∴?（x）＞0，（10分）
又?（x）是偶函數(shù)，
∴x＜0，?（x）=?（-x）＞0．（11分）
故當(dāng)xf（x）＞0時(shí)，?（x）＞0．（12分）
分析：（1）先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看?（x）與?（-x）的關(guān)系即可得結(jié)論；
（2）先判斷出x＞0時(shí)對(duì)應(yīng)f（x）的正負(fù)，再對(duì)a分大于1和大于0小于1兩種情況討論，分別得出+的正負(fù)，綜合即可證明x＞0時(shí)，?（x）＞0；
再利用偶函數(shù)的性質(zhì)?（x）=?（-x）即可證明x＜0時(shí)，?（x）＞0．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性．在證明或判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性時(shí)，一定要先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f（-x）和f（x）的關(guān)系．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0且a≠1，設(shè)p：函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞增，q：設(shè)函數(shù)y=
2x-2a，(x≥2a)
2a，(x＜2a)
，函數(shù)y≥1恒成立，若p∧q為假，p∨q為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•普陀區(qū)二模）已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
11-x
，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點(diǎn)；
（2）若關(guān)于x的方程F（x）-m=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0且a≠1，則使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解時(shí)的k的取值范圍為
（-∞，-1）∪（0，1）
（-∞，-1）∪（0，1）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
11-x
，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點(diǎn)；
（2）試討論函數(shù)F（x）在定義域D上的單調(diào)性；
（3）若關(guān)于x的方程F（x）-2m2+3m+5=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)僅有一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：普陀區(qū)二模 題型：解答題

已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）=loga（x+1），g(x)=loga
1
1-x
，記F（x）=2f（x）+g（x）
（1）求函數(shù)F（x）的定義域D及其零點(diǎn)；
（2）若關(guān)于x的方程F（x）-m=0在區(qū)間[0，1）內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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