Question

若函數(shù)f（x）為定義域D上單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間[a，b]⊆D（其中a＜b），使得當(dāng)x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍恰為[a，b]，則稱函數(shù)f（x）是D上的正函數(shù)，區(qū)間[a，b]叫做等域區(qū)間．
（1）已知f(x)=x

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是[0，+∞）上的正函數(shù)，求f（x）的等域區(qū)間；
（2）試探究是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)？若存在，請求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)?span id="chi863r" class="MathJye">f(x)=x

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是[0，+∞）上的正函數(shù)，然后根據(jù)正函數(shù)的定義建立方程組，解之可求出f（x）的等域區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)建立方程組，消去b，求出a的取值范圍，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a的方程a²+a+m+1=0在區(qū)間(-1，-

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)內(nèi)有實(shí)數(shù)解進(jìn)行求解．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="1tey1i4" class="MathJye">f(x)=

x

是[0，+∞）上的正函數(shù)，
且f(x)=

x

在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x∈[a，b]時，

f(a)=a f(b)=b

即

a =a b =b

解得a=0，b=1，
故函數(shù)f（x）的“等域區(qū)間”為[0，1]；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函數(shù)，
所以當(dāng)x∈[a，b]時，

g(a)=b g(b)=a

即

a2+m=b b2+m=a

兩式相減得a²-b²=b-a，
即b=-（a+1），
代入a²+m=b得a²+a+m+1=0，
由a＜b＜0，
且b=-（a+1）
得-1＜a＜-

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，
故關(guān)于a的方程a²+a+m+1=0在區(qū)間(-1，-

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2

)內(nèi)有實(shí)數(shù)解，
記h（a）=a²+a+m+1，
則

h(-1)＞0 h(- 1 2 )＜0

解得m∈(-1，-

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)．

點(diǎn)評：本題主要考查了新的定義，以及函數(shù)的值域，同時考查了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．