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9.已知點(diǎn)A30B30,動(dòng)點(diǎn)C引A、B兩點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求點(diǎn)C的軌跡方程;
(2)點(diǎn)C的軌跡與直線y=x-2交于D、E兩點(diǎn),求弦DE的長(zhǎng).

分析 (1)運(yùn)用橢圓的定義和a,b,c的關(guān)系,可得a=2,b=1,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)點(diǎn)C的軌跡與直線y=x-2聯(lián)立,得5x2-16x+12=0,利用弦長(zhǎng)公式,由此能求出線段DE的長(zhǎng).

解答 解:(1)由橢圓的定義可知,曲線是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓,
且2a=4,即a=2,c=3,b=1,
即有點(diǎn)C的軌跡方程為x24+y2=1;
(2)點(diǎn)C的軌跡與直線y=x-2聯(lián)立,得5x2-16x+12=0,
設(shè)D(x1,y1)、E(x2,y2),則x1+x2=165,x1x2=125,
∴|DE|=2256254×125=425
故線段DE的長(zhǎng)為425

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì),涉及弦長(zhǎng)公式,屬于中檔題.

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