Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)為F₁、F₂，漸近線為l₁，l₂，過(guò)點(diǎn)F₂且與l₁平行的直線交l₂于M，若M在以線段F₁ F₂為直徑的圓上，則雙曲線的離心率為（　　）

• A、2
• B、

  2

• C、

  3

• D、

  5

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：已知得出過(guò)F且與雙曲線C的一條漸近線平行的直線方程，與另一條漸近線方程聯(lián)立即可解得交點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入以線段F₁F₂為直徑的圓的方程，即可得出離心率e．

解答： 解：不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)F₂與雙曲線的一條漸過(guò)線平行的直線方程為y=

b

a

(x-c)，
與y=-

b

a

x聯(lián)立，可得交點(diǎn)M（

c

2

，-

bc

2a

），
∵點(diǎn)M在以線段F₁F₂為直徑的圓上，
∴

c2

4

+

b2c2

4a2

=c²，
∴b=

3

a，
∴c=

a2+b2

=2a，
∴e=

c

a

=2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，熟練掌握雙曲線的漸近線及離心率、直線的點(diǎn)斜式、圓的方程是解題的關(guān)鍵．