Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形．點E是棱PC的中點，平面ABE與棱PD交于點F．
（Ⅰ）求證：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，試證明AF⊥平面PCD；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，線段PB上是否存在點M，使得EM⊥平面PCD？（請說明理由）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得AB∥CD，從而AB∥面PCD，由此能證明AB∥EF．
（Ⅱ）推導(dǎo)出CD⊥AD，CD⊥AF，AF⊥PD，由此能證明AF⊥平面PCD．
（Ⅲ）若存在符合題意的點M，則平面PBC⊥平面PCD，而這與題意相矛盾，故在（Ⅱ）的條件下，線段PB上不存在點M，使得EM⊥平面PCD．

解答 證明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，
又∵AB?面PCD，CD?面PCD
∴AB∥面PCD，
又∵A、B、E、F四點共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴AB∥EF．
（Ⅱ）在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴CD⊥平面PAD，又∵AF?平面PAD，∴CD⊥AF，
由（Ⅰ）知AB∥EF，
又∵AB∥CD，∴CD∥EF，
由點E是棱PC的中點，∴點F是棱PD中點，
在△PAD中，∵PA=AD，∴AF⊥PD，
又∵PD∩CD=D，
∴AF⊥平面PCD．
解：（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，線段PB上不存在點M，使得EM⊥平面PCD．
理由如下：
若存在符合題意的點M，
∵EM⊥平面PCD，EM?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PCD，
而這與題意相矛盾，
故在（Ⅱ）的條件下，線段PB上不存在點M，使得EM⊥平面PCD．

點評 本題考查二直線平行的證明，考查線面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．