Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且．
（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求滿足a_n＜0的自然數(shù)n的集合．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵S_n-S_n-1=a_n，a_n=S_n•S_n-1
∴=-1∵S₁=a₁=
∴所以數(shù)列是公差為-1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，
∴
∴
令a_n＜0，即
∴
∴n=2
∴解集為：{2}
分析：（Ⅰ）根據(jù)S_n-S_n-1=a_n，a_n=S_n•S_n-1，可得=-1，從而可得數(shù)列是公差為-1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列．
（Ⅱ）先求得，從而可得，進(jìn)而可求滿足a_n＜0的自然數(shù)n的集合．
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查解不等式，解題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的定義．