Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}，即{x}=m在此基礎上給出下列關于函數f（x）=x-{x}的四個命題：①f（-

1

2

）=

1

2

；②f（3.4）=-0.4；③f（-

1

4

）＜f（

1

4

）；④y=f（x）的定義域是R，值域是[-

1

2

，

1

2

]；則其中真命題的序號是

①③

．

Answer 1

分析：在理解新定義的基礎上，求出{-

1

2

}、{3.4}、{-

1

4

}、{

1

4

}對應的整數，進而利用函數f（x）=x-{x}可判斷①②③的 正誤；而對于④易知f（x）=x-{x}的值域為（-

1

2

，

1

2

]，則④錯誤．此時即可作出選擇．

解答：解：①∵-1-

1

2

＜-

1

2

≤-1+

1

2

∴{-

1

2

}=-1∴f（-

1

2

）=-

1

2

-{-

1

2

}=-

1

2

+1=

1

2

，∴①正確；
②∵3-

1

2

＜3.4≤3+

1

2

∴{3.4}=3∴f（3.4）=3.4-{3.4}=3.4-3=0.4∴②錯誤；
③∵0-

1

2

＜-

1

4

≤0+

1

2

∴{-

1

4

}=0∴f（-

1

4

）=-

1

4

-0=-

1

4

，
∵0-

1

2

＜

1

4

≤0+

1

2

∴{

1

4

}=0∴f（

1

4

）=

1

4

-0=

1

4

，∴③正確；
④中，令x=m+a，a∈（-

1

2

，

1

2

]
∴f（x）=x-{x}=a∈（-

1

2

，

1

2

]
∴④錯誤．
故答案為：①③．

點評：本題考查的知識點函數的三要素、性質判斷命題的真假，我們要根據定義中給出的函數，結合求函數值、值域的方法，對4個結論進行驗證．