已知函數(shù)f(x)=2
3
cos2x+2sinxcosx-m(x∈R)．在區(qū)間[0，
π
2
]上，函數(shù)f（x）最大值為2．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊是a，b，c．若A為銳角，且滿足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC面積為
3
3
4
，求邊長a．
考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理,余弦定理
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形
分析：（1）利用兩角和公式和倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用三角函數(shù)的性質(zhì)表示出函數(shù)的最大值，進(jìn)而求得m．
（2）把f（A）代入f（x）的解析式，求得A的值，利用正弦定理和已知等式求得b和c的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)面積公式求得另一個(gè)b和c的關(guān)系式，最后聯(lián)立求得a．
解答： 解：（1）∵f(x)=2
3
cos2x+2sinxcosx-m=
3
(cosx+1)+sin2x-m
∴f(x)=2sin(2x+
π
3
)+
3
-m，
∵x∈[0，
π
2
]，所以
π
3
≤2x+
π
3
≤
4π
3

∴f(x)在2x+
π
3
=
π
2
時(shí)取得最大值．f（
π
2
）=2+
3
-m=2
∴m=
3
．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+
π
3
），f（A）=0，
∴f（A）=2sin（2A+
π
3
）=0，
∴2A+
π
3
=kπ，即A=
kπ
2
-
π
6
，k∈Z，
∵0＜A＜
π
2
，
∴A=
π
3
，
∵sinB=3sinC，
∴由正弦定理知，b=3c，①
∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
1
2
bcsin
π
3
=
3
3
4
，
∴bc=3，②
由①②解得b=3，c=1，
∴a=
b2+c2-2bccosA
=
32+1-2×3×1×cos
π
3
=
7
．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的綜合運(yùn)用，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某市教育主管部門為了弘揚(yáng)民族文化，在全市各中學(xué)開展?jié)h字聽寫大賽，某學(xué)校經(jīng)過七輪選拔，最后選出甲乙兩名選手代表本校參加市里比賽，甲乙兩名選手七輪比賽得分情況如下表所示：
甲 86 94 89 88 91 90 92
乙 88 89 90 91 93 92 87
（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)分析，哪位選手成績更為穩(wěn)定？
（2）從甲選手的7次成績中隨機(jī)抽取兩次成績，求抽出的兩次成績的分?jǐn)?shù)差值至少是3分的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+1，
（1）設(shè)集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分別從集合P和集合Q中任取一個(gè)數(shù)作為a和b的值，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）若a是從區(qū)間[1，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[1，3]任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義：如果數(shù)列{an}的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長，則稱{an}為“三角形”數(shù)列．對于“三角形”數(shù)列{an}，如果函數(shù)y=f（x）使得bn=f（an）仍為一個(gè)“三角形”數(shù)列，則稱y=f（x）是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”，（n∈N*）．
（Ⅰ）已知數(shù)列{cn}的首項(xiàng)為2010，Sn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，且滿足4Sn+1-3Sn=8040，證明{cn}是“三角形”數(shù)列；
（Ⅱ）已知{an}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若f（x）=kx，（k＞1）是數(shù)列{an}的“保三角形函數(shù)”，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作⊙O1的切線交⊙O2于點(diǎn)E，連接EB并延長交⊙O1于點(diǎn)C，直線CA交⊙O2于點(diǎn)D．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合時(shí)（如圖①），證明ED2=EB•EC；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)（如圖②），若BC=2，BE=6，求⊙O2的直徑長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2|x-m|和函數(shù)g（x）=x|x-m|+2m-8，其中m為參數(shù)，且滿足m≤5．
（1）若m=2，寫出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間（無需證明）；
（2）若方程f（x）=2|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若對任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（-∞，4]，使得f（x2）=g（x1）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=sin2x+asinx+1的最小值g（a）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)變量x，y滿足約束條件
y≤3x-2
x-2y+1≤0
2x+y≤8
，則
y
x
的最大值是
 
．

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