設(shè)函數(shù)f(x)=Ax3+Bx2+Cx+6A+B,其中實(shí)數(shù)A,B,C滿足:①-8B+1≤12A+4C≤8B+9,②3A<-B≤6A
(Ⅰ)求證:f(1)≥
1
4
;f(-1)≤
9
4
;
(Ⅱ)設(shè)0≤x≤π,求證:f(2sinx)≥0.
分析:(I)根據(jù)題中的兩個不等式,化簡變形得3A+2B+C≥
1
4
,3A-2B+C≤
9
4
.再求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),算出f'(1)=3A+2B+C且f'(-1)=3A-2B+C,可得不等式f(1)≥
1
4
f(-1)≤
9
4
成立;
(II)由sinx在0≤x≤π時的值域得:欲原不等式成立,即證明當(dāng)0≤x≤2時f(x)≥0.再根據(jù)f'(x)=3Ax2+2Bx+C的圖象是開口向上的、關(guān)于直線x=-
B
3A
對稱的拋物線,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)加以分析,利用題中條件進(jìn)行不等式的放縮和配方,可得:0≤x≤2時f'(x)≥
9
8
f'(1)-
1
8
f'(-1)≥
9
8
×
1
4
-
1
8
×
9
4
=0,得f(x)在區(qū)間[0,2]上為增函數(shù),從而當(dāng)0≤x≤2時,f(x)≥f(0)=6A+B≥0.因此得到當(dāng)0≤x≤π時,原不等式成立.
解答:解:(I)∵-8B+1≤12A+4C≤8B+9
∴3A+2B+C≥
1
4
,3A-2B+C≤
9
4

又∵f(x)=Ax3+Bx2+Cx+6A+B,可得f'(x)=3Ax2+2Bx+C
∴f'(1)=3A+2B+C≥
1
4
,f'(-1)=3A-2B+C≤
9
4

即不等式f(1)≥
1
4
,f(-1)≤
9
4
成立;
(II)當(dāng)0≤x≤π時,sinx∈[0,1]
因此不等式f(2sinx)≥0等價于當(dāng)u∈[0,2]時,f(u)≥0
只須證明當(dāng)0≤x≤2時,f(x)≥0
由條件②:3A<-B≤6A,可得A>0且-
B
3A
∈(1,2]
∴f'(x)=3Ax2+2Bx+C是開口向上的拋物線,其對稱軸方程為x=-
B
3A
∈(1,2]
又∵3A<-B≤6A∴(3A+B)(6A+B)≤0,可得-B2≥18A2+9AB
∴當(dāng)0≤x≤2時,有f'(x)≥f'(-
B
3A
)=
12AC-4B2
12A
=
3AC-B2
3A
3AC+18A2+9AB
3A

3AC+18A2+9AB
3A
=C+6A+3B=(3A+2B+C)+(3A+B)≥(3A+2B+C)+(-
B
2
)+B≥(3A+2B+C)+
B
2

∴當(dāng)0≤x≤2時,有
f'(x)≥f'(1)+
1
2
×
1
4
[f'(1)-f'(-1)]≥
9
8
f'(1)-
1
8
f'(-1)≥
9
8
×
1
4
-
1
8
×
9
4
=0
因此,f(x)在區(qū)間[0,2]上為增函數(shù),
可得當(dāng)0≤x≤2時,f(x)≥f(0)=6A+B≥0.
綜上所述,當(dāng)0≤x≤π時,不等式f(2sinx)≥0成立.
點(diǎn)評:本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,并且證明關(guān)于x的不等式恒成立.著重考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)與不等式恒成立的證明等知識,屬于難題.請同學(xué)們注意解題過程中的轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)方程的思想,并關(guān)注不等式的證明中放縮的技巧.
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-1
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x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
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A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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