Question

已知數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常數(shù)），且S₁=1，S₃=7．
（1）求λ的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，試比較與S_n的大�。�

Answer 1

解：（1）∵S₁=1，S₃=7
∴由S_n+1=2λS_n+1，得S₂=2λS₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1=7
∴λ=1或λ=-
∵λ＞0，∴λ=1．（5分）
（2）∵λ=1
∴S_n+1=2S_n+1
整理得S_n+1+1=2（S_n+1），
∴數(shù)列{S_n+1}是以S₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴S_n+1=2•2^n-1，可得S_n=2ⁿ-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2^n-1（n≥2），
∵當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1滿足a_n=2^n-1，
∴a_n=2^n-1．（10分）
（3）①
②
①-②得：．
則，…（11分）
∴…（12分）
∴當(dāng)n=1時(shí)，．
當(dāng)n=2時(shí)，．
即當(dāng)n=1或n=2時(shí)，．…（13分）
當(dāng)n≥3時(shí)，．…（14分）
分析：（1）由S_n+1=2λS_n+1，得S₂=2λS₁+1=2λ+1，S₃=2λS₂+1=4λ²+2λ+1=7，由此可求出λ=1．
（2）由題意可知S_n+1=2S_n+1，從而數(shù)列{S_n+1}是以S₁+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以S_n=2ⁿ-1，由此可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）錯(cuò)位相消法求出數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，再作差比較與S_n的大�。�
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列性質(zhì)和應(yīng)用，考查錯(cuò)位相消法求數(shù)列的函數(shù)，考查構(gòu)造法思想的運(yùn)用，解題時(shí)要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)