Question

7．設(shè)點O是邊長為1的正△ABC的中心（如圖所示），則（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$）=（　�。�

• A． $\frac{1}{9}$
• B． -$\frac{1}{9}$
• C． -$\frac{1}{6}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)及向量加法平行四邊形法則、向量數(shù)乘的幾何意義便可得出$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}）$，從而根據(jù)條件進行向量數(shù)量積的運算即可求出$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$的值．

解答 解：根據(jù)重心的性質(zhì)，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CB}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}）$；
又$|\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{CB}|=1，∠BCA=60°$；
∴$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}）$=$\frac{1}{9}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）•（\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}）$
=$\frac{1}{9}（{\overrightarrow{CA}}^{2}-\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}-2{\overrightarrow{CB}}^{2}）$
=$\frac{1}{9}（1-\frac{1}{2}-2）$
=$-\frac{1}{6}$．
故選C．

點評 考查三角形重心的概念及性質(zhì)，等邊三角形的概念，向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運算，向量數(shù)量積的運算及計算公式．