Question

如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)

PQ

與

BC

的夾角θ取何值時(shí)

BP

•

CQ

的值最大？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：要求

PQ

與

BC

的夾角θ取何值時(shí)

BP

•

CQ

的值最大，我們有兩種思路：
法一：是將向量

PQ

與

BC

根據(jù)向量加減法的三角形法則，進(jìn)行分析，分解成用向量

AP

、

AQ

、

AC

、

AB

表示的形式，然后根據(jù)|

AP

|=|

AQ

|=a，

AC

⊥

AB

即

AC

•

AB

=0，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于cosθ的式子，然后根據(jù)cosθ的取值范圍，分析出

BP

•

CQ

的最大值；
法二：是以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)后，進(jìn)而給出向量

BP

與

CQ

的坐標(biāo)，然后利用平面向量的數(shù)量值運(yùn)算公式，構(gòu)造一個(gè)關(guān)于cosθ的式子，然后根據(jù)cosθ的取值范圍，分析出

BP

•

CQ

的最大值．

解答：解：如下圖所示：
解法一：∵

AB

⊥

AC

，∴

AB

•

AC

=0．
∵

AP

=-

AQ

，

BP

=

AP

-

AB

，

CQ

=

AQ

-

AC

，
∴

BP

•

CQ

=(

AP

-

AB

)•(

AQ

-

AC

)
=

AP

•

AQ

-

AP

•

AC

-

AB

•

AQ

+

AB

•

AC

=-a2-

AP

•

AC

+

AB

•

AP

=-a2+

1

2

PQ

•

BC

=-a²+a²cosθ．
故當(dāng)cosθ=1，即θ=0（

PQ

與

BC

方向相同）時(shí)，

BP

•

CQ

最大．其最大值為0．
解法二：以直角頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，兩直角邊所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)|AB|=c|AC|=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b），
且|PQ|=2a，|BC|=a．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則Q（-x，-y）．
∴

BP

=(x-c，y)，

CQ

=(-x，-y-b)，

BC

=(-c，b)，

PQ

=(-2x，-2y)．
∴

BP

•

CQ

=(x-c)(-x)+y(-y-b)
=-（x²+y²）+cx-by．
∵cosθ=

PQ • BC

| PQ |•| BC |

=

cx-by

a2

．
∴cx-by=a²cosθ．
∴

BP

•

CQ

=-a2+a2cosθ．
故當(dāng)cosθ=1，
即θ=0（

PQ

與

BC

方向相同）時(shí)，

BC

•

CQ

最大，其最大值為0．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查向量的概念，平面向量的運(yùn)算法則，考查運(yùn)用向量及函數(shù)知識(shí)的能力．