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4.已知向量a=12,b=23,\overrightarrow m=λ\overrightarrow a+\overrightarrow b,\overrightarrow n=\overrightarrow a-\overrightarrow b,若\overrightarrow m\overrightarrow n垂直,則實(shí)數(shù)λ的值是9,若\overrightarrow m\overrightarrow n的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ<9且λ≠-1.

分析 由已知向量的坐標(biāo)求出\overrightarrow{m}\overrightarrow{n}的坐標(biāo),結(jié)合\overrightarrow m\overrightarrow n垂直,由坐標(biāo)運(yùn)算求得λ值;再由數(shù)量積小于0,去掉兩向量共線反向的情況求得\overrightarrow m\overrightarrow n的夾角為鈍角的實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

解答 解:∵\overrightarrow a=(-1,2),\overrightarrow b=(2,3),
\overrightarrow m=λ\overrightarrow a+\overrightarrow b=λ(-1,2)+(2,3)=(2-λ,2λ+3),
\overrightarrow n=\overrightarrow a-\overrightarrow b=(-3,-1),
\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n},得\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0,即-3(2-λ)-1×(2λ+3)=0,解得:λ=9;
\overrightarrow m\overrightarrow n的夾角為鈍角,則-3(2-λ)-1×(2λ+3)<0,解得λ<9,
但當(dāng)λ=-1時(shí),\overrightarrow{m}=(3,1),此時(shí)\overrightarrow m\overrightarrow n共線反向,舍去.
∴若\overrightarrow m\overrightarrow n的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ<9且λ≠-1.
故答案為:9,λ<9且λ≠-1.

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,注意向量共線反向的情況,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(3)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,過點(diǎn)P作動(dòng)直線l與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)M、N,在線段MN上取異于點(diǎn)M、N的點(diǎn)H,滿足\frac{|PM|}{|PN|}=\frac{|MH|}{|HN|},證明點(diǎn)H恒在一條定直線上.

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