Question

在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x²+y²-4x=0．若直線y=k（x+1）上存在一點P，使過P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：直線與圓

分析：由題意可得圓心為C（2，0），半徑R=2；設(shè)兩個切點分別為A、B，則由題意可得四邊形PACB為正方形，圓心到直線y=k（x+1）的距離小于或等于PC=2

2

，
即

|2k-0+k|

k2+1

≤2

2

，由此求得k的范圍．

解答： 解：∵C的方程為x²+y²-4x=0，故圓心為C（2，0），半徑R=2．
設(shè)兩個切點分別為A、B，則由題意可得四邊形PACB為正方形，故有PC=

2

R=2

2

，
∴圓心到直線y=k（x+1）的距離小于或等于PC=2

2

，
即

|2k-0+k|

k2+1

≤2

2

，解得k²≤8，可得-2

2

≤k≤2

2

，
故答案為：[-2

2

，2

2

]．

點評：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點到直線的距離公式的應用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．